大学入試研究-数学

問題先生2人と生徒4人が円卓を囲むとき、先生2人が隣り合わせにならない座り方は何通りあるか。ヒント同じ並び方が回転しただけのものをうまく排除する方法を考える。解説まず4人の生徒を円卓に配置したとき、生徒同士の間は4ヶ所できる。この4ヶ所の中...

問題n^2+n+14が平方数となるn（自然数）をすべて求めよ。ヒント中学で習った和と差の積a^2-b^2=(a+b)(a-b)は、大学受験でも使います。解説与式が平方数となるということなのでn^2+n+14=m^2とおいて左辺を平方完成する...

問題年始めに毎年10万円ずつ積み立てることにした。年利8%の複利計算の場合、元利合計が240万円をはじめて超えるのは何年後か。log_{10} 2=0.301 , log_{10} 3=0.477として計算せよ。ヒント年利8%という高利でも...

問題任意のxにおいて、ax^2+2(a+1)x+2a+1>0が成立するときのaの範囲を求めよ。ヒント2次関数のグラフをイメージして場合分けをするが、見落としの無いように。解説aがx^2の係数になっているので、aの正負によってグラフの形が変わ...

問題 a_1=0 , a_2=2 a_{n+2}=8(n+2)a_{n+1}-7(n^2+3n+2)a_n(1) b_n= \frac{a_n}{n!}のとき、b_nを求めよ。(2) a_nを求めよ。ヒント n^2+3n+2をよく見よう。(...

問題中心の座標が(1,2)、半径3の円があり、点Pがその円周上を移動する。点A(-3,6)と点Pを結ぶ線分APを2:1に内分する点Qの軌跡を求めよ。ヒント内分の公式と円の方程式をうまく組み合わせると近道。点Aと円の中心を結ぶ直線の式から求め...

問題△ABCにおいて、辺AB=2、辺AC=3、角BAC=120°のとき(1)△ABCの面積を求めよ。(2)角BACの2等分線と辺BCの交点をDとするとき、辺ADの長さを求めよ。ヒント2辺の長さとその間の角から面積を求める公式を使う基本問題。...

問題\\ log_3 5\\ \frac{1}{2}+log_9 8\\ log_9 26を小さい順に並べよ。ヒント対数の底をそろえて大小比較をするが、安易に多数決で9にすると真数が9の倍数でないので手がつけられなくなる。解説\\ log_...

問題数列\{a_n\}は、初項-2、 a_{n+1}=3a_n+8n (n=1,2,3 \cdots)である。次の問いに答えよ。(1)　 b_n=a_n+pn+qとするとき、b_nが等比数列になるように定数p,qを定めよ。(2)　\{a_n...

問題次の方程式で表される2つの直線l_1, l_2を考える。　　l_1 : (a-1)(x+1)-(a+1)y=0　　l_2 : ax-y-1=0次の問いに答えよ。(1)　 l_1はaの値によらず定点を通る。この定点の座標を求めよ。(2)　...

問題n を 3以上の整数とする。1 から n までの番号をつけた n 枚の札の組が 2 つある。これ ら 2n 枚の札をよく混ぜ合わせて, 札を 1 枚ずつ 3 回取り出し, 取り出した順にその番号を X_1 , X_2 , X_3 とする...