北海道大学整数

大学入試研究-数学

2022.02.16

問題

$n^2+n+14$ が平方数となる $n$ （自然数）をすべて求めよ。

ヒント

中学で習った和と差の積 $a^2-b^2=(a+b)(a-b)$ は、大学受験でも使います。

解説

与式が平方数となるということなので
$n^2+n+14=m^2$ とおいて左辺を平方完成する。
$(n+\frac{1}{2})^2-\frac{1}{4}+14=m^2$
これを和と差の積の形に整理すると
$m^2-(n+\frac{1}{2})^2=\frac{55}{4}$
$(m+n+\frac{1}{2})(m-n-\frac{1}{2})=\frac{55}{4}$
$(2m+2n+1)(2m-2n-1)=55$
$55$ の約数は、 $1,5,11,55$ しかなく、また $n$ が自然数であることから $(2m+2n+1)>(2m-2n-1)$ がいえるので、 $2m+2n+1$ は $11,55$ のどちらかであり、その時の $2m-2n-1$ は $5,1$ である。
それぞれの組で連立方程式を解くと
$n=1,13$

Originally posted on 2021-06-27 @ 14:54

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