室蘭工業大学 3項間漸化式

問題

$a_1=0 , a_2=2$
$a_{n+2}=8(n+2)a_{n+1}-7(n^2+3n+2)a_n$
(1) $b_n= \frac{a_n}{n!}$ のとき、 $b_n$ を求めよ。
(2) $a_n$ を求めよ。

ヒント

$n^2+3n+2$ をよく見よう。
(1)がとても良い誘導問題なので、しっかりこの誘導に乗って解いていこう。

解説

与式中の $n^2+3n+2$ を因数分解すると
$(n+1)(n+2)$ になることに気がつくと、両辺を $(n+2)!$ で割ると約分できることに気がつくはず。
$\frac{a_{n+2}}{(n+2)!}=\frac{8(n+2)a_{n+1}}{(n+2)(n+1)!}-\frac{7(n+1)(n+2)a_n}{(n+2)(n+1)n!}$
左辺に寄せて
$\frac{a_{n+2}}{(n+2)!}-8 \frac{a_{n+1}}{(n+1)!}+7 \frac{a_n}{n!}=0$
$b_n= \frac{a_n}{n!}$ より
$b_{n+2}-8 b_{n+1}+7 b_n=0$
特性方程式を解くと
$b_{n+2}-b_{n+1}=7(b_{n+1}-b_n)$
$b_{n+2}-7 b_{n+1}=b_{n+1}-7 b_n$
の2式が得られる。
このとき $b_1=0, b_2=1$ である。
$b_{n+1}-b_n=7^{n-1}$ より
$b_n= \sum_{k=1}^{n-1} 7^{k-1}$
$b_n= \frac{7^{n-1}-1}{6}$

あとは $b_n$ を $a_n$ にもどすだけなので
$\frac{a_n}{n!}=\frac{7^{n-1}-1}{6}$ より
$a_n= \frac{7^{n-1}-1}{6}n!$