福井大学数列（複利計算）

問題

年始めに毎年10万円ずつ積み立てることにした。
年利8%の複利計算の場合、元利合計が240万円をはじめて超えるのは何年後か。
$log_{10} 2=0.301 , log_{10} 3=0.477$ として計算せよ。

ヒント

年利8%という高利でもこれしか増えないなら、一生懸命勉強して働いたほうがいい。

解説

まず複利計算を理解するために、最初に預けた10万円だけに着目すると、この10万円は1年後 $10 \times 1.08$ 万円になっている。
2年後には $10 \times 1.08 \times 1.08 = 10 \times 1.08^2$ 万円になっている。
これに新たな積立金10万円が加えられるので、
1年後　 $10 \times 1.08$ 万円
2年後　 $10 \times 1.08^2 + 10 \times 1.08$ 万円
3年後　 $10 \times 1.08^3 + 10 \times 1.08^2+ 10 \times 1.08$ 万円
となる。
つまり、n年後には
$10 \times 1.08^n + 10 \times 1.08^{n-1}+$ ・・・ $+10 \times 1.08^1$ 万円
となる。
これを10でくくって整理し、これが240万円を超えればよいので、
$10(1.08^1+1.08^2+$ ・・・ $+1.08^n)>240$
が成り立つnを求めればよいことになる。
カッコの中が初項1.08，公比1.08の等比数列になっているので、
$10 \{ \frac{1.08(1.08^n-1)}{1.08-1} \}>240$
$1.08^n > \frac{25}{9}$
両辺に対数を取ると
$log_{10} 108^n - log_{10} 100^n > log_{10} 25 - log_{10} 9$
$n(log_{10} 2^2 + log_{10} 3^3 -2) > 2 log_{10} \frac{10}{2} - 2 log_{10} 3$
$n(2 log_{10} 2 + 3 log_{10} 3 -2) > 2 (log_{10} 10- log_{10} 2) - 2 log_{10} 3$
$log_{10} 2=0.301 , log_{10} 3=0.477$ を当てはめて計算すると、
14年後に初めて240万円を超えることがわかる。