円順列の基本問題

問題

先生2人と生徒4人が円卓を囲むとき、先生2人が隣り合わせにならない座り方は何通りあるか。

ヒント

同じ並び方が回転しただけのものをうまく排除する方法を考える。

解説

まず4人の生徒を円卓に配置したとき、生徒同士の間は4ヶ所できる。
この4ヶ所の中から2ヶ所に先生を配置することになるので、4つから2つを選ぶ選び方 ${}_4 C_2 = \frac {4 \times 3}{2 \times 1} = 6$
先生が入れ替わる場合を考えるとこの2倍。
最後に生徒4人が座る位置について考えるが、このとき誰か1人を固定して、残りの3人の並び方を考えることで、同じ並び方が回転しただけのものを排除することができるので、3人の生徒の並び方は $3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$
以上より、 $6 \times 2 \times 6 = 72$ 通り