2次関数の基本問題

問題

任意の $x$ において、
$ax^2+2(a+1)x+2a+1>0$
が成立するときの $a$ の範囲を求めよ。

ヒント

2次関数のグラフをイメージして場合分けをするが、見落としの無いように。

解説

$a$ が $x^2$ の係数になっているので、 $a$ の正負によってグラフの形が変わるので場合分けする。

$a<0$ のとき
与式の左辺によって得られるグラフが上に凸になるので、不適。

$a=0$ のとき
与式の左辺によって得られるグラフが傾き2の直線になるので、不適。
この場合を忘れて減点されないように。

$a>0$ のとき
与式の左辺が解をもたないこと（ $x$ 軸と交わらないこと）が条件となるので、判別式を計算する。
判別式 $D=4(a+1)^2-4a(2a+1)<0$
$(a+1)^2-a(2a+1)<0$
$-a^2+a+1<0$
$a^2-a-1>0$
因数分解できないので左辺を解の公式に代入して
$\frac{1 \pm \sqrt{1+4}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$
より
$a<\frac{1 - \sqrt{5}}{2} , \frac{1 + \sqrt{5}}{2}<a$
$\frac{1 - \sqrt{5}}{2}$ は負なので
$a> \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$