図形と方程式円の基本問題

問題

中心の座標が $(1,2)$ 、半径3の円があり、点Pがその円周上を移動する。
点 $A(-3,6)$ と点Pを結ぶ線分APを $2:1$ に内分する点Qの軌跡を求めよ。

ヒント

内分の公式と円の方程式をうまく組み合わせると近道。
点Aと円の中心を結ぶ直線の式から求めようとすると地獄の計算になってしまう。

解説

点Pの座標を $(s,t)$ とすると、点Pの式は
$(s-1)^2+(t-2)^2=3^2$
となる。
点Qの座標は線分APを $2:1$ に内分する点なので、内分の公式に当てはめて
$( \frac{-3+2s}{3} , \frac{6+2t}{3})$
である。
求めるべき点Qの座標を $(x,y)$ とすると、
$x=\frac{-3+2s}{3}$
$y=\frac{6+2t}{3}$
が成り立つので、これを整理して
$s= \frac{3x+3}{2}$
$t= \frac{3y-6}{2}$
となる。
これを点Pの式に代入して
$(\frac{3x+3}{2}-1)^2+(\frac{3y-6}{2}-2)^2=3^2$
あとはこれを整理すればいいのだが、ここでつまづく生徒が多いので整理のしかたは次のように。
$( \frac{3}{2}x+\frac{3}{2}-1)^2+(\frac{3}{2}y-3-2)^2=9$
$(\frac{3}{2}x+\frac{1}{2})^2+(\frac{3}{2}y-5)^2=9$
係数 $\frac{3}{2}$ がじゃまなのでくくりだして
$\{\frac{3}{2}(x+\frac{1}{3})\}^2+\{\frac{3}{2}(y-\frac{10}{3})\}^2=9$
$\frac{9}{4}\{ (x+\frac{1}{3})^2+(y-\frac{10}{3})^2 \}=9$
$(x+\frac{1}{3})^2+(y-\frac{10}{3})^2=4$
点Qの軌跡は、中心の座標 $(-\frac{1}{3},\frac{10}{3})$ 、半径2の円であることがわかる。