三角形の面積・余弦定理の基本問題

問題

△ABCにおいて、辺AB=2、辺AC=3、角BAC=120°のとき
(1)△ABCの面積を求めよ。
(2)角BACの2等分線と辺BCの交点をDとするとき、辺ADの長さを求めよ。

ヒント

2辺の長さとその間の角から面積を求める公式を使う基本問題。

解説

(1)
面積の公式に当てはめて
$\frac{1}{2} \times 2 \times 3 \times \sin{120}= \frac{3 \sqrt{3}}{2}$

(2)
求めたいADをxとおくと、△ABD、△ACDのそれぞれの面積をxを用いて表すことができるので、その和が(1)で求めた面積に等しくなるxを求めればよい。
$\frac{3 \sqrt{3}}{2} = \frac{1}{2} \times 2 \times x \times \sin{60} +\frac{1}{2} \times 3 \times x \times \sin{60}$
$x=\frac{6}{5}$

別解
角ABCに向かいあう辺をそれぞれa,b,cとすると、aの長さは余弦定理に当てはめて
$a^2=b^2+c^2-2bc \cos{120}$ で求められる。
$a^2=19$
$a=\sqrt{19}$
ここから、線分BD= $\frac{2\sqrt{19}}{5}$ ,CD= $\frac{3\sqrt{19}}{5}$
となるので、△ABD、△ACDのそれぞれに余弦定理を当てはめて共通する解を求める方法もある。