数列・漸化式の基本問題

問題

数列 $\{a_n\}$ は、初項-2、 $a_{n+1}=3a_n+8n (n=1,2,3 \cdots)$ である。
次の問いに答えよ。
(1)　 $b_n=a_n+pn+q$ とするとき、 $b_n$ が等比数列になるように定数 $p,q$ を定めよ。
(2)　 $\{a_n\}$ の一般項を求めよ。

ヒント

(1)は(2)を導くための誘導なので、ヒントをヒントとしてしっかりいかすこと。

解説

(1)
$b_n=a_n+pn+q$ より
$b_{n+1}=a_{n+1}+p(n+1)+q$
これに、 $a_{n+1}=3a_n+8n$ の右辺を代入して
$b_{n+1}=3a_n+8n+p(n+1)+q$
$b_{n+1}=3a_n+(8+p)n+p+q$
「 $b_n$ が等比数列になる」というヒントを見逃さずに、この式の右辺が $b_n$ に係数がつくだけで表せることを見抜けば
$b_{n+1}=3b_n=3a_n+3pn+3q$
となるはずだということがわかる。
あとは係数比較して
$p=4,q=2$

(2)
$b_{n+1}=3b_n$ より
$b_n=4 \times 3^{n-1}$
$a_n+4n+2=4 \times 3^{n-1}$
$a_n=4 \times 3^{n-1}-4n-2$