福島大学　軌跡

大学入試研究-数学

2021.06.27

問題

次の方程式で表される2つの直線 $l_1, l_2$ を考える。
　　 $l_1 : (a-1)(x+1)-(a+1)y=0$
　　 $l_2 : ax-y-1=0$
次の問いに答えよ。
(1)　 $l_1$ は $a$ の値によらず定点を通る。この定点の座標を求めよ。
(2)　 $a$ が実数全体を動くときに、 $l_1$ と $l_2$ の交点の軌跡を求めよ。

ヒント

(1)　 $a$ によらないということは、 $a$ の係数は？
(2)　こんなきれいな式が出てくるよ。

解説

(1)
$a$ の値によらず、とあることから、 $a$ にどんな数値を入れても $x, y$ は同じ値になるということに目をつけると
$a=1$ のとき
与式は $2y=0$
$a=-1$ のとき
与式は $-2x-2=0$
と解くことができる。
別解
$a$ の値によらずということから、 $a$ の恒等式と考えたときの $a$ の係数は $0$ になるはずである
よって与式は
$ax+a-x-1-ay-y=0$
$a(x-y+1)-(x+y+1)=0$
と考えることができ、 $a$ の係数は $0$ になるはずなので
$x-y+1=0$
$x+y+1=0$
となる。

(2)
交点の座標を $(p, q)$ とすると、与えられた2つの直線の式から
　　 $(a-1)(p+1)-(a+1)q=0$
　　 $ap-q-1=0$
の2式を得られる
2番目の式より
$a=\frac{q+1}{p}$
これを1番目の式に代入して
$(\frac{q+1}{p}-1)(p+1)-(\frac{q+1}{p}+1)q=0$
分数のあるカッコ内を先に計算して（通分して）
$\frac{q+1-p}{p}(p+1)-\frac{q+1+p}{p}p=0$
両辺に $p$ を掛けて分母を払うと
$(q+1-p)(p+1)-(q+1+p)q=0$
展開して整理すると
$p^2+q^2=1$
原点を中心とする半径 $1$ の円であることがわかる
ただし $a=\frac{q+1}{p}$ より $p \neq 0$ なので
$(0, 1)$ を除く