京都大学　場合の数・確率

問題

$n$ を $3$ 以上の整数とする。 $1$ から $n$ までの番号をつけた $n$ 枚の札の組が $2$ つある。これら $2n$ 枚の札をよく混ぜ合わせて, 札を $1$ 枚ずつ $3$ 回取り出し, 取り出した順にその番号を $X_1 , X_2 , X_3$ とする。 $X_1<X_2<X_3$ となる確率を求めよ。ただし一度取り出した札は元に戻さないものとする。

ヒント

必ず、全事象と条件を満たす事象を考える。

解説

全事象は、 $2n$ 枚から $3$ 枚取り出す事象なので、 1回目→ $2n$ 通り 2回目→1回目で引いた1枚減って、 $2n-1$ 通り 3回目→1回目と2回目で引いた2枚減って、 $2n-2$ 通りよって、 $2n \times (2n-1) \times (2n-2)$ 通り引いた3枚がすべて異なる番号であるのは、 1回目→ $2n$ 通り 2回目→1回目で引いた1枚ともう1枚の同番号をのぞいて、 $2n-2$ 通り 3回目→1回目と2回目で引いた2枚とそれぞれの同番号をのぞいて、 $2n-4$ 通りよって、 $2n \times (2n-2) \times (2n-4)$ 通りさらに、選んだ異なる3枚の番号が $X_1 <X_2 < X_3$ となるのは、3枚の札の並び順6通りのうちの1通りなので、問題の条件を満たすものは、 $2n \times (2n-2) \times (2n-4) \times \frac{1}{6}$ 通りよって、求める確率は、 $\frac{1}{2n \times (2n-1) \times (2n-2)} \times 2n \times (2n-2) \times (2n-4) \times \frac{1}{6}$